Министерство образования и науки Забайкальского края
Государственное профессиональное образовательное учреждение
...
«Приаргунский государственный колледж»
_

Подписан: Баженова
Валентина Владимировна
DN: C=RU, O="ГПОУ ""
Приаргунский
государственный
колледж""", CN=Баженова
Валентина Владимировна,
E=pgk.priarg@mail.ru
Основание: я подтверждаю
этот документ своей
удостоверяющей подписью
Местоположение: место
вашего подписания
Дата: 2025-02-22 09:15:55
Foxit Reader Версия: 9.5.0

%

J

по УПР ГПОУ «пгк»
Д ж и ,'о ^ о к у х и н а К. Н.
о/
2025 года
.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для обучающихся по выполнению практических работ
по дисциплине
ОП.ОЗ «Основы технической механики»
по профессии
13.01.10 «Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования
(по отраслям)»

п.г.т. Приаргунск. 2025
1

*

■

Методические указания разработаны на основе ФГОС по
профессии
«Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования (по отраслям)».

Организация-разработчик: ГПОУ «Приаргунский государственный колледж»
Разработчик: Лопатина В.А. преподаватель
Рассмотрено
на заседании предметно-цикловой комиссии сельскохозяйственно-технологического
профиля
Протокол №иГ от « 2-У»
2025 г.
Председатель ПЦКЭ^^/Иг^ Лопатина В.А.

2

13.01.10

Содержание
Практическая работа №1 «Определение равнодействующей системы
сходящихся сил.»……………………………………………………………………..
Практическая работа № 2 « Определение центра тяжести плоских фигур
методом подвешивания.»……………………………………………………………..
Практическая работа №3: «Решение задач по кинематике точки.»……………….
Практическая работа №4 «Решение задач с использованием метода
кинетостатики.»……………………………………………………………………….
Практическая работа №5 «Решение задач на расчет работы и мощности при
поступательном и вращательном движении; мощности и момента вращения
валов многоступенчатых передач.»………………………………………………….
Практическая работа № 6 «Решение задач на тему срез и смятие»……………….
Практическая работа №7«Эпюры продольных сил, нормальных напряжений и
абсолютных удлинений/укорочений.»………………………………………………
Практическая работа №8«Расчет напряжения, возникающего в конструкциях,
работающих на срез и смятие.»………………………………………………………
Практическое занятие №9«Определение осевых, центробежных и полярных
моментов инерции.»…………………………………………………………………..
Практическая работа №10«Определение коэффициента запаса прочности при
изгибе.»………………………………………………………………………………..
Практическая работа №11«Определение эквивалентного момента на прочности,
расчет поперечного сечения образца»………………………………………………
Практическая работа №12«Расчет динамической нагрузки»……………………..
Литература ……………………………………………………………………………

3

5
8
13
20

24
27
31
39
41
43
47
48
52

Тематическое планирование
Тема

Количество
часов

Тема 1.1. Основные понятия и аксиомы статики
Практическая работа №1 «Определение равнодействующей системы
сходящихся сил.»
Практическая работа № 2 « Определение центра тяжести плоских фигур
методом подвешивания.»
Тема 1. 2. Основные понятия кинематики
Практическая работа №3: «Решение задач по кинематике точки.»
Тема 1.3. Основные понятия и аксиомы динамики
Практическая работа №4 «Решение задач с использованием метода
кинетостатики.»
Практическая работа №5 «Решение задач на расчет работы и мощности при
поступательном и вращательном движении; мощности и момента вращения
валов многоступенчатых передач.»
Тема 2.1. Основные положения теории сопротивления материалов
Практическая работа № 6 «Решение задач на тему срез и смятие»
Практическая работа №7«Эпюры продольных сил, нормальных напряжений и
абсолютных удлинений/укорочений.»
Практическая работа №8«Расчет напряжения, возникающего в конструкциях,
работающих на срез и смятие.»
Практическое занятие №9«Определение осевых, центробежных и полярных
моментов инерции.»
Практическая работа №10«Определение коэффициента запаса прочности при
изгибе.»
Практическая работа №11«Определение эквивалентного момента на прочности,
расчет поперечного сечения образца»
Практическая работа №12«Расчет динамической нагрузки»
Итого
Критерии оценивания:
Оценка «5» выставляется, если студент при ответе на теоретическую часть
задания продемонстрировал системные полные знания.
Оценка «4» выставляется, если студент при ответе на теоретическую часть
задания продемонстрировал системные знания , но при ответе были допущены
незначительные ошибки.
Оценка «3» выставляется, если студент нечетко ответил на вопрос задания.
Оценка «2» выставляется, если студент при ответе на теоретическую часть
билета изложил материал несвязно, допустил значительные ошибки.

4

2
2

2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
24

Практическая работа №1
Тема: Определение равнодействующей системы сходящихся сил
Цель работы: Закрепить теоретические знания и умения определять равнодействующую
системы сходящихся сил аналитическим и геометрическим способами
Обучающийся должен знать основные понятия и законы механики твердого тела.
Форма работы - индивидуальная.
Характер работы - частично-поисковый.
Краткие теоретические и справочно-информационные материалы по теме:
Системой сходящихся сил называется система, в которой линии действия сил пересекаются в одной
точке, называемой центром системы.
Система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме этих сил и
приложенную в точке их пересечения.
Равнодействующая системы сходящихся сил аналитическим способом определяется по
величинам сумм проекций на ось χ и Y по формуле:

.

Направление равнодействующей определяется значением угла равнодействующей с осью Ох
по формуле: cos

x

Fx .
Fр
Равнодействующую системы сходящихся сил можно определить геометрическим способом.
Для этого необходимо построить многоугольник сил заданной системы сходящихся сил.
Многоугольник сил строится в следующей последовательности: вычерчиваются векторы сил
заданной системы в определённом масштабе один за другим так, чтобы конец предыдущего
вектора совпадал с началом последующего. Вектор равнодействующей замыкает полученную
ломаную линию, он соединяет начало первого вектора с концом последнего и направлен ему
навстречу.
Измеряя полученный при построении равнодействующий вектор сил, учитывая выбранный
масштаб, определяется его величина.
Литература: Олофинская, В.П. Техническая механика. Курс лекций с вариантами практических
и тестовых заданий: учебное пособие/ В.П. Олофинская. - 2-е изд. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М,
2012.
Проверка знаний и умений (необходимых для выполнения практической работы)
№
Задание
Вариант ответа
п/п
1.
Чему равен модуль равнодействующей сил F1 и F2, если F1 = F2 = 5
А. 7,1 кН
кН, α = 600?
В. 9,7 кН
С. 7,9 кН
Д. 8,7 кН

2.

Какой вид имеют уравнения равновесия сходящейся системы сил?

5

3.

Чему равна равнодействующая трёх сил, если R = 10 Н, F1 = F2 = 20
А. 30 Н
Н, угол = 30o?
С. 90 Н
В. 0 Н
Д. 60 Н

Задание:

Определить равнодействующую
геометрическим
погрешность вычислений двумя способами.

системы сходящихся сил
и аналитическим способами. Определить

Порядок выполнения работы:
1) По данным варианта вычертить систему сходящихся сил.
2) Определить равнодействующую геометрическим способом.
3) Определить проекции всех сил системы на ось Ох.
4) Определить проекции всех сил системы на ось Оу.
5) Определить модуль равнодействующей по величинам сумм проекций на ось χ и Y.
6) Определить значение угла равнодействующей с осью Ох аналитическим способом.
7) Определить погрешность вычислений по формуле.

.
Пример расчета:
F1 = 20 кН
F2 = 5
кН
F3 = 10 кН
F4 = 15 кН
F5 = 10 кН
α1 = 0
°
α2 = 60 °
α3 = 75 °
α4 = 150 °
α5 = 210 °

60

1. Определение равнодействующей геометрическим способом.
Используя свойства векторной суммы сил, вычерчиваем векторы сил в масштабе
2
мм = 1 кН последовательно друг за другом.
Равнодействующей вектор соединяет начало первого вектора с концом последнего и
направлен ему навстречу.
С помощью линейки определяем модуль равнодействующей силы, а транспортира угол наклона
к её оси.
FΣгр = 16,5 кН
αΣх = 79°.
2. Определение равнодействующей аналитическим
способом: а) Определяем проекции всех сил системы
на ось Ох:
F1х= F1· соs 0° = 20 ·1 = 20 кН
F2х= F2 · соs 60° = 5 · 0,5 = 2,5
кН
F3х= F3 · соs 75° = 10 · 0,26 = 2,6 кН
F4х= - F4 · соs 30° = - 15 · 0,866 = - 13
6

кН
F5х= - F5 · соs 30° = - 10 · 0,866 = - 8,66 кН
Сложив алгебраические проекции, получим проекцию равнодействующей на ось Ох:
FΣх = F1х + F2х + F3х + F4х + F5х ; FΣх = 20 + 2,5 + 2,6 – 13 – 8,66 = 3,44 кН.
Знак проекции соответствует направлению вправо.
б) Определяем проекции всех сил системы на ось Оу:
F1у= F1 · соs 90° = 20 · 0 = 0
F2у= F2 · соs 30° = 5 · 0,866 = 4,33 кН
F3у= F3 · соs 15° = 10 · 0,966 = 9,66 кН
F4у= F4 · соs 60° = 15 · 0,5 = 7,5 кН
F5у= - F5 · соs 60° = - 10 · 0,5 = - 5
кН
Сложив алгебраические проекции, получим проекцию равнодействующей на ось Оу:
FΣу = F1у + F2у + F3у + F4у + F5у ; FΣу = 0 + 4,33 + 9,66 + 7,5 – 5 = 16,49 кН.
Знак проекции соответствует направлению вверх.
в) Определяем модуль равнодействующей по величине проекции:
;
г) Определяем значение угла равнодействующей с осью Ох:

3. Определение погрешности вычислений.
Вывод: равнодействующая определена правильно.
Данные для выполнения практической работы
Парамет
р

Вариант
1

2

3

4

5

6

7

8

F1, кН

8

16

18 20

6

4

5

12 12

9

10 11 12

13

14 15

16

17

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

29

30

8

4

15

9

11

12

18

8

15 13 16

9

11 18 20

10 15

17

5

F2, кН

18

17

10

8

10 12 20

5

17 18 10 15

17

19

7

16

12

8

19

5

16

8

10

6

17 15 17 18

12

20

F3, кН

19

15

16 17

F4, кН

16

12

4 15

10 10 12

8

20

4

9

12

18

13

6

10

10

4

10 14

6

9

6

16 17 19 20

4

9

12

11 12

8

19 10 14

6

16

5

20 19

11

18

6

4

7

12 19

17 19

18

11

6

16 16 19 18 20

20

19

4

15

8

7

F5, кН

11

10

15

8

6

7

17

20

8

4

15 16 10 16

5

α1, град

60

0

60 30

45 100 30 30 30 360 45 45

90

45 60

45

90

45

0

45 60

α2, град

45

60

30 60

60 120 250 75 45 230 150 270 150 60

0

170 60 70 45 170 60

α3, град

0

120 170 90 210 45 120 150 170 170 330 150 270 90 180 150

250 150 90 60 230 210 60 120 120 70 170 120 120 150

α4, град

170

150 230 210 170 270 180 170 230 270 180 70 300 230 250 210

70 270 210 210 330 270 210 250 270 210 270 170 180 270

α5, град

210

180 210 300 120 300 60 360 330 60 170 330 360 210 330 270

360 360 270 300 30 330 270 300 330 270 150 300 270 330

4

9

0

0

60

0

0

10 12 20 12

8

20

6

0

30

30

30 30 45 120 30

60

45

0

30 30

Контрольные вопросы:
1. Какая система сил является системой сходящихся сил?
2. Сформулируйте условие равновесия системы сходящихся сил в аналитической и
геометрической формах.
3. Сформулируйте правила построения силового многоугольника.
4. Приведите формулу для определения равнодействующей системы сходящихся сил.
5. В каком случае проекция силы равна 0?
6. В каком случае проекция силы положительна?

7

Практическая работа № 2
Тема: Определение центра тяжести плоских фигур методом подвешивания.
Цель работы: Выполнение расчета координат центра тяжести простых и сложных плоских фигур
аналитически и определение центра тяжести сложной фигуры методом подвешивания.
Теоретический материал
Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести всех элементарных
частиц тела.
Любое тело состоит из большого количества элементарных частиц.
Центр тяжести есть геометрическая точка, которая может лежать вне тела (кольцо, цилиндр с
отверстием).
Координаты центра тяжести тела находят по тем же формулам, что и координаты центра
параллельных сил.
Очень часто приходится определять центры тяжести геометрических плоских фигур сложной
 Ai  X i , Yc =  Ai  Yi ; .
формы. Координаты центра тяжести вычисляются по формулам: X c =
 Ai
 Ai
где Аi – площадь простой фигуры (элементарной площади);
Хi. Yi – координаты центра тяжести элементарной площади.
Для вычисления координат центра тяжести геометрических плоских фигур используются
следующие методы:
1. Метод симметрии:
• если однородное тело имеет ось симметрии , то центр тяжести лежит на оси симметрии;
• если однородное тело имеет две оси симметрии , то центр тяжести лежит в точке их
пересечения;
• центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.
2. Метод разделения: сложные сечения разделяем на минимальное количество простых частей,
положение центров тяжести которых, легко определить;
3. Метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рассматриваются как часть сечения с
отрицательной площадью.
Методика решения задач по аналитическому определению координат центра тяжести площади.
Для решения задач плоской системы параллельных сил и определения координат центра
тяжести плоской фигуры сложной конфигурации применяем следующую методику:
1. Сложную фигуру разбиваем на элементарные площади.
2. В каждой элементарной площади определяем центр тяжести
3. Выбираем оси координат
4. Относительно этих осей координат определяем координаты центра тяжести каждой
элементарной площади
5. Составив уравнения, решаем задачу по определению центра тяжести сложной фигуры.
6. При решении задач необходимо помнить, если фигура имеет вырез, то в уравнениях для Xc Yc Аx
Аy площадь выреза ставится со знаком «минус»
Сведения о координатах центра тяжести простейших фигур
Прямоугольник. Так как прямоугольник имеет две оси симметрии , то его центр тяжести
находится на пересечении осей симметрии, т.е. в точке пересечения диагоналей прямоугольника.
A=bh.

Треугольник. Центр тяжести лежит в точке пересечения его медиан. Из геометрии известно,
что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 1:2 от основания. А=
bh/2.
8

Круг. Так как круг имеет две оси симметрии, то его центр тяжести находится на пересечении
осей симметрии. А=d2/4.

Полукруг. Полукруг имеет одну ось симметрии, его центр тяжести лежит на этой оси. Другая
координата центра тяжести вычисляется по формуле:

.

Равнобедренный треугольник. Центр тяжести лежит на оси симметрии, которой является
высота треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана совпадает с высотой h
треугольника. А=аh/2.

Методика опытного определения координат центра тяжести способом подвешивания.
Установка для опытного определения координат центра тяжести способом подвешивания
состоит из вертикальной стойки 1 (рисунок 1), к которой прикреплена игла 2.
Плоская фигура 3 изготовлена из картона, в котором легко проколоть отверстие.
Отверстия А и В прокалываются в произвольно расположенных точках (лучше на наиболее
удаленном расстоянии друг от друга).
Плоская фигура подвешивается на иглу сначала в точке А, а потом в точке В. При помощи
отвеса 4, закрепленного на той же игле, на фигуре прочерчивают карандашом вертикальную
линию, соответствующую нити отвеса.
Центр тяжести С фигуры будет находиться в точке пересечения вертикальных линий,
нанесенных при подвешивании фигуры в точках А и В.

9

Рисунок 1. Установка для опытного определения координат центра тяжести способом
подвешивания
Пример. Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рисунке 2.

Рисунок 2. Сложная плоская фигура
Решение:
1. Выбираем оси координат, так чтобы ось 0х прошла по крайнему нижнему габаритному
размеру, а ось 0у – по крайнему левому габаритному размеру.
2. Разбиваем сложную фигуру на минимальное количество простых фигур:
1) прямоугольник 20х10;
2) треугольник 15х10;
3) круг R=3 см.
3. Вычисляем площадь каждой простой фигуры, её координаты центра тяжести. Результаты
вычислений заносим в таблицу 1.
Таблица 1. Расчетные данные
№
фигуры

Площадь фигуры А, cм2

1

А1=20·10=200

Координаты центра тяжести
Х, см

У, см

20:2=10

10:2=5

10

5

2
3

3. Вычисляем координаты центра тяжести всей фигуры по формулам:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

Обеспечивающие средства
методическое руководство по выполнению работы;
таблица тригонометрических функций;
индивидуальное задание;
тетрадь для практических работ;
штангенциркуль, линейка;
установка для подвешивания фигур;
карандаш, линейка, ластик, авторучка;
калькулятор.

Методические рекомендации по выполнению работы
1. Внимательно изучить методические указания, предложенный теоретический материал.
2. Начертить в тетрадях свою плоскую фигуру по размерам, с указанием осей координат.
10

3. Определить центр тяжести аналитическим способом.
4. Обозначить на рисунке центры тяжести простых фигур и общей фигуры, полученные
расчетным путем.
5. Определить центр тяжести опытным путем на установке для определения координат центра
тяжести.
− Вырезать данную фигуру из тонкого картона.
− Определить центр тяжести своей фигуры на установке.
6. Измерить штангенциркулем или линейкой отмеченные на фигуре координаты центра
тяжести, записать их в таблицу 2 и обозначить на рисунке.
7. Определить погрешность определения центра тяжести расчетным и опытным путем.
8. Сделать выводы о проделанной работе.
9. Ответить на контрольные вопросы.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Порядок выполнения заданий
По исходным данным своего варианта начертить фигуру в масштабе 1:1.
Разбить фигуру на минимальное количество фигур, центры тяжести которых мы знаем, как
определить. Присвоить индексы простым фигурам.
Выбрать оси координат и отметить на них проекции центров тяжести простых фигур.
Вычислить площади простых фигур.
Вычислить координаты центра тяжести всей фигуры по формулам (положение центра
тяжести нанести на чертеж фигуры)
Отметить центр тяжести всей фигуры на чертеже.
Вычертить таблицу 2 в тетради, занести в таблицу 2 полученные расчетным путем данные.

Таблица 2. Расчетные и опытные данные
№
Расчетные Площади
элементарной координаты простых
простой
центров
фигур
плоской
тяжести
(см)
фигуры
простых
фигур (см)
Хi

Yi

Аi

Общая
площадь
сложной
фигуры
(см)

Расчетные
координаты
центра
тяжести
сложной
фигуры (см)

Опытные
Погрешность
координаты
центра
тяжести
(см)

А

Хс
YС

ХС1
YС1

Х
Y

Вырезать данную фигуру из тонкого картона. Просверлить два отверстия, края отверстий
должны быть гладкими, а диаметр отверстий несколько больше диаметра иглы для
подвешивания фигуры.
9. Подвесить фигуру сначала в одной точке (отверстии), прочертить карандашом линию,
совпадающую с нитью отвеса. То же повторить при подвешивании фигуры в другой точке.
10. Измерить штангенциркулем или линейкой отмеченные на фигуре координаты центра тяжести,
записать их в таблицу 2 и обозначить на чертеже.
11. Определить погрешность определения координат центра тяжести расчетным и опытным путем
и занести в таблицу 2:
8.

Задания для выполнения работы
Определить центр тяжести площади сложной фигуры (Xc Yc). Данные для решения выбрать по
таблице 3.
11

Таблица 3. Исходные данные

12

Выводы
Выводы формулируются в свободной форме.
В выводах необходимо отразить следующие моменты:
1) В какой степени достигнута цель работы.
2) Какие знания и умения приобретены в процессе выполнения работы.
Контрольные вопросы
1. Можно ли рассматривать силу тяжести тела как равнодействующую систему параллельных сил?
2. Может ли располагаться центр тяжести вне самого тела?
3. В чем сущность опытного определения центра тяжести плоской фигуры?
4. Как определяется центр тяжести сложной фигуры, состоящей из нескольких простых фигур?
5. Как следует рационально производить разбиение фигуры сложной формы на простые фигуры при
определении центра тяжести всей фигуры?
6. Какой знак имеет площадь отверстий в формуле для определения центра тяжести?
7. На пересечении каких линий треугольника находится его центр тяжести?
8. Если фигуру трудно разбить на небольшое число простых фигур, какой способ определения
центра тяжести может дать наиболее быстрый ответ?
Практическая работа №3
Тема: Решение задач по кинематике точки.
Цель работы: Определение абсолютной скорости и ускорения точки при естественном способе
задания движения.
Теоретический материал
Для задания движения точки применяют один из следующих способов:
1-естественный; 2- координатный; 3-векторный. При решении задач очень важно, соблюдать
следующую последовательность:
1.
Установить способ задания движения точки и вид движения
2.
Наметить путь решения исходя из данных условий задачи
3.
Уравнения движения решать относительно неизвестных.
13

Для установления способа задания движения точки и вида движения при координатном
способе необходимо найти траекторию и закон движения точки по ней, а также скорость и
ускорение x=ct2; y=bt.
Для установления способа задания движения точки и вида движения при естественном
способе задания движения необходимо найти при t=2с полное ускорение точки, которая движется
по дуге окружности радиусом r по закону s=ct2.
Пример. Диск радиусом r =2м вращается вокруг неподвижной оси (рисунок 1 ) согласно
уравнению φ=25t+5t3 (φ - в радианах, t - в секундах). На ободе диска перемещается точка М.
Определить абсолютные скорость и ускорение точки поверхности диска в момент
времени t1 , t2
Дано:
r =2м;
φ=25t+5t3;
t1 =0;
t2=2с.
Определить v, a?

Рисунок 1. Схема перемещения точки М
Решение.
Для определения скорости и ускорения точки необходимо знать угловую скорость и ускорение
диска.
1. Уравнение изменения угловой скорости диска.
ω=dφ/dt=d(25t+5t3)/dt= 25+15t2.
2. Уравнение изменения углового ускорения диска.
ε= dφ/dt=d(25t+15t2)=30t.
3. Определим угловую скорость и угловое ускорение диска в момент
времени t1 =0; t2=2с:
ω1 =25t+15t21=25 рад/с;
ω2 =25t+15t22=25+15·22 =85 рад/с;
ε1 =30t1=0;
ε2 =30t2=30·2=60 рад/с.
4. Определим скорость точки поверхности диска в указанные моменты времени:
υ1 = ω1 · r =25 · 2= 50м/с;
υ2 = ω2 · r =85 · 2= 170м/с.
5. Определим нормальное и касательное ускорения точки поверхности диска в момент
времени t1 =0; t2=2с:
аn1 = ω12 · r =252 · 2= 1,25·103 м/с2 ;
аn2 = ω22 · r =852 · 2= 14,5·103 м/с2 ;
аt1= ε1· r =0;
аt2= ε2· r =60· 2=120 м/с2.
6.
a1 =
a2 =

Определяем ускорение точки
1,25·103 м/с2;
14,5·103 м/с2.

14

Обеспечивающие средства
1.
2.
3.
4.
5.
6.

методическое руководство по выполнению работы;
таблица тригонометрических функций;
индивидуальное задание;
тетрадь для практических работ;
карандаш, линейка, ластик, авторучка;
калькулятор.
Методические рекомендации по выполнению работы

1. Внимательно изучить методические указания, предложенный теоретический материал.
2. В соответствии с вариантом выполнить задание.
Для этого необходимо:
полностью переписать условие задания;
выполнить задание в соответствии с методикой, приведенной выше;
располагать действия в таком порядке, чтобы был виден логический ход
выполнения работы. (Рисунки и схемы следует выполнять с помощью чертежных
принадлежностей).
3. Сделать выводы о проделанной работе.
4. Ответить на контрольные вопросы.
Литература
1. Эрдеди А.А. Техническая механика: учебник для студ. учреждений
сред.проф.образования/ А.А. Эрдеди, Н.А. Эрдеди. – 4-е изд., стер. – М.: Издательский центр
«Академия», 2017.
2. Олофинская В.П. Техническая механика. Курс лекций с вариантами практических и
тестовых заданий. - М.: ФОРУМ-ИНФРА-М, 2013.
3. Сафонова Г.Г., Артюховская Т.Ю., Ермаков Д.А. Техническая механика. - М.: ИНФРАМ, 2013.
Порядок выполнения заданий
1. Полностью переписать условие задания.
2. Определить угловую скорость и угловое ускорение диска в указанные моменты
времени.
3. Определить скорость точки поверхности диска в указанные моменты времени.
4. Определить нормальное и касательное ускорения точки поверхности диска.
5. Определить ускорение точки.
Задания для выполнения работы
Диск радиусом r вращается вокруг неподвижной оси согласно уравнению φ=f(t). На ободе
диска перемещается точка М. Определить абсолютные скорость и ускорение точки поверхности
диска в момент времени t1 , t2 . Исходные данные выбрать в таблице 1.
Таблица 1. Исходные данные
вариант
1
2
3
4
5

r, м
0,2
0,4
1
1,2
1,5

φ, рад
2

t1,с
3

5t +15t
4t2 +15t3
14t2 +3t3
12t +3t4
8t5 +2t2

1
2
1
4
3

t2,с
4,5
5,6
4,3
6,5
11
15

вариант
16
17
18
19
20

r, м
3,5
2,5
4
4,5
0,4

φ, рад
2

3

14t +3t
12t +3t4
4t2 +15t3
8t5 +2t2
6t5 +2t2

t1,с

t2,с

1,5
1,4
2,5
3,5
4,5

7
5
4
5
6

6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

0,5
2
0,4
0,6
0,8
3
3,5
2,5
4
4,5

4t2 +15t3
6t5 +2t2
8t5 +2t2
12t +3t4
14t2 +3t3
6t2 +2t3
6t5 +2t2
5t2 +15t3
6t5 +2t2
8t5 +2t2

2
1,5
1,4
2,5
3,5
4,5
2
1
3
4

7
5
4
5
6
9
3,5
4,5
6,5
7,5

21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

0,6
0,8
3
1,2
1,5
0,5
2
0,2
0,4
1

6t2 +2t3
5t2 +15t3
12t +3t4
6t5 +2t2
6t2 +2t3
14t2 +3t3
8t5 +2t2
6t2 +2t3
4t2 +15t3
25t+5t3

2
1
2
1
4
3
2
1,5
1,5
2,5

4,5
5,6
4,3
6,5
11
6,5
7,5
5
6
9

Выводы
Выводы формулируются в свободной форме.
В выводах необходимо отразить следующие моменты:
1) В какой степени достигнута цель работы;
2) Какие знания и умения приобретены в процессе выполнения работы.
Контрольные вопросы
1. Перечислите способы задания движения точки.
2. Поясните, в чем заключается каждый способ задания движения точки.
3. Опишите последовательность решения задачи для нахождения движения точки.
4. Перечислите виды движения точки.
5. Как направлены векторы скорости и ускорений при криволинейном движении?
6. Как определить нормальное и касательное ускорение точки?
7.
Как
движется
точка,
а)

б)

в)

если:

г)

№1. Вал электромотора, вращаясь равномерно с частотой
n=1200 об/мин. После выключения рубильника вал остановился из-за трения в подшипниках,
сделав N=100 оборотов.
Определить угловое ускорение ε, считая его постоянным.
Движение вращательное равнозамедленное.
Уравнения движения:

16

Задача №2. Маховое колесо начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно, через 10 мин
после начала движения оно имеет угловую скорость 120 об/мин. Сколько оборотов сделало колесо
за 10 мин.
Решение: Вид движения – вращательное равноускоренное.
Уравнения движения:

Задача №3. Определить скорость V и ускорение a точки, находящейся на поверхности Земли на
широте ∝=600, принимая во внимание только вращение Земли вокруг своей оси, радиус Земли
Rз=6370 км.
Решение:
Определим частоту вращения n. Земля совершает один оборот за 24 часа (24∙60=1440 мин).

Определим линейную скорость вращения точки:

Нормальное ускорение точки:

При равномерном вращении тангенциальное ускорение aτ=0
Полное ускорение a= an
Задачи по теме: «Кинематика точки». Сложное движение.

17

Задача №1. Автомобиль движется по шоссе со скоростью Vе=40 км/ч (переносная скорость).
Вертикальные капли дождя оставляют на боковом стекле автомобиля след под углом α=300 к
вертикали. Определить скорость капель относительно Земли Vабс. .
Решение:
Определим относительную скорость капель Vr - скорость капель в подвижной системе отсчёта.
Относительная скорость капель будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника:

Vr = Vе/sin300=80 км/ч
Абсолютная скорость капель:
Задача №2. Длина встречного поезда равна l=175 м. Сколько времени пассажир поезда, идущего со
скоростью V абс =72 км/ч, будет видеть встречный поезд, если скорость последнего равна V е =54
км/ч.
Решение:
V=Vr –Ve=72 км/ч
Vr=V+Ve =72+54=126 км/ч=35 м/с
t=l/Vr =175/35=5 c
Задача №3.Моторная лодка должна переплыть на другой берег по кратчайшему расстоянию из т. А
в т. В, расположенной на противоположной стороне. АВ=l=250 м. Определить под каким углом α к
прямой АВ должна плыть лодка и сколько времени займёт переправа, если скорость течения
реки V е =10 м/мин (переносная скорость). Скорость лодки относительно воды Vr=20 м/мин.
Решение:

t=l/V=250/17,3=14,5 мин .
Задача №4. В момент вылета снаряда из ствола пушки со скоростью V=600 м/с происходит поворот
ствола в вертикальной плоскости с угловой скоростью ω=2 рад/с. Определить скорость снаряда в
этот момент времени по отношению к Земле.? Длина ствола l =2,5м.
Решение:
Абсолютная скорость снаряда
Задача №5. С какой скоростью и по какому курсу должен лететь самолёт, чтобы за время t=2 часа
пролететь расстояние S=300 км точно на Север.
Во время полёта дует северо-западный ветер со скоростью V=27 км/ч, направленный под углом
∝=300 к меридиану.

18

Решение:
Скорость самолёта по отношению к Земле – абсолютная скорость будет равна:
V=S/t=300/2=150 км/ч
Переносная скорость – это скорость ветра Vе=27 км/ч
Относительную скорость определяем по теореме косинусов

Курс самолёта определяем по теореме синусов

Задача №6. В гидравлической турбине вода из направляющего аппарата попадает на вращающееся
рабочее колесо, лопатки которого поставлены таким образом, чтобы относительная скорость частиц
воды была направлена по касательной к лопасти рабочего колеса.
Абсолютная скорость частиц воды V=15 м/с, угол между абсолютной скорость и радиусом ∝=600,
радиус r=2м, угловая скорость вращения колеса п=30 об/мин.
Найти относительную скорость частиц воды.
Решение:
Определим переносную скорость частиц воды:

Относительную скорость определим по теореме косинусов:

Определение частот вращения валов
7.1.Частота вращения промежуточного вала
19

, (17)
где n1– частота вращения входного (быстроходного) вала, об/мин,
U1– передаточное число быстроходной передачи.
7.2. Частота вращения выходного (тихоходного) вала
, (18)
где n2– частота вращения промежуточного вала, об/мин,
U2– передаточное число тихоходной передачи.
Практическая работа №4
Тема: Решение задач с использованием метода кинетостатики
Цель: Определение параметров движения тела с помощью основного закона динамики и методом
кинетостатики.
Для выполнения работы необходимо знать:
Основной закон динамики: «Ускорение, приобретенное телом под действием некоторой силы,
пропорционально величине этой силы и направлено в ту же сторону».
,
где
– равнодействующая сила, равная сумме квадратов проекций
равнодействующей на две перпендикулярных оси;
– масса тела;
– ускорение, приобретенное телом под действием нескольких сил (аксиома о
независимости действия сил).
Принцип Даламбера:
Активные силы, реакции связей (опор) и сила инерции образуют уравновешенную систему сил, т.е.
если к силам, действующим на тело, движущееся с ускорением, добавить силу инерции, то их
можно представить в равновесии

где

– геометрическая сумма внешних сил;
– геометрическая сумма реакций связей(опор);

– сила инерции, которая определяется:
Пример решения задач.
Пример1.
Тело массой
помощью силы

кг перемещается по наклонной поверхности с ускорением
. Определить силу тяги

, если коэффициент трения

Дано:
кг,
,
Определить:
Решение:
1. С применением основного закона динамики.

20

с
.

где
так как

(тело движется по оси х);

;
;
;
;
Ответ:
2. С применением принципа Даламбера (рис.6.1 б).

Так как тело движется вдоль оси Х, то
21

следовательно

Ответ: F = 636,3 H
Пример 2.
Дано:V=7,5м¤с, m=200кг, l=4м
Определить реакцию нити.

Решение:
1. С применением основного закона динамики.

22

2. С применением принципа Даламбера.

Ответ:
Задачи для практической работы:
1.Определить силу тяжести, действующую на круглый однородный диск радиуса 20 см.,
вращающийся вокруг оси по закону ϕ=3t2 . Ось проходит через центр диска перпендикулярно его
плоскости, главный момент сил инерции диска относительно оси вращения равен 4 Н*см.
2. Тело весом3500 Н движется вверх по наклонной плоскости согласно уравнению S
=0,16t2 (рис.14.5). Определить величину движущей силы, если коэффициент трения тела о
плоскость f=0,15.

23

3. В кабине лифта размещены пружинные весы на которых установлен груз. Когда кабина
неподвижна показание весов составляет 50 Н., а при движении лифта показание весов
увеличилось до 51Н. Определить с каким ускорением движется кабина лифта.
Практическая работа №5
Тема: Решение задач на расчет работы и мощности при поступательном и вращательном движении;
мощности и момента вращения валов многоступенчатых передач
Цель работы:
1. Научится производить кинематический и силовой расчеты многоступенчатого привода.
2. Получить навыки в чтении и составлении кинематических схем.
Теоретическая часть.
Механическими передачами называют механизмы, служащие для передачи механической энергии
на расстояние.
Основные кинематические и силовые соотношения в передачах.
Особенности каждой передачи и ее применение определяют следующие параметры:
1 Мощность на ведущем валу P1 и ведомом P2 или вращающие моменты M1, M2 ;
2 Частота вращения (угловые скорости) на ведущем валу n1, ω1 и ведомом n2, ω2;
3.Коэффициент полезного действия;
КПД= Р1/Р2
Для многоступенчатого привода
КПД общ = КПД1 * КПД2 ……КПДn ;
При расчете принять следующие значения КПД передач (с учетом потерь в подшипниках)
Табл. 1
Тип передачи
Откр.
Закр.
Тип передачи
Откр.
Закр.
Цилиндрическая
прямозубая
Цилиндрическая
косозубая
Зубчатая
коническая

0,95

0,97

Цепная.

0,92

---

0,96

0,98

Клиноременная.

0,95

---

0,95

0,96

Червячная.

---

0,72

4. Передаточное число определяется по формуле:
U= ω1/ω2 = n1/n2
Для многоступенчатых передач общее передаточное число составляет:
Uобщ= U1 * U2 * …..Un
Где U1, U2 , Un передаточное число отдельных ступеней.

24

.
Пример составления кинематической схемы привода :
Исходные данные: Привод ленточного транспортера состоит из двухступенчатого закрытого
редуктора , Электродвигателя марки 4А160 S4 P=11кВт n= 1500 об/мин., ведущий вал редуктора
соединен с двигателем нерасцепляемой муфтой , вал трнспортера соединен с выходным валом
редуктора цепной передачей. Редуктор состоит: первая передача зубчатая коническая, вторая
передача цилиндрическая прямозубая.

Задание для самостоятельного расчета:
Согласно варианту табл. 2, составить кинематическую схему, сделать
расчет трехступенчатого привод
Табл. 2
Вар. Двигатель Двигатель Выходной
1
2
Мощность Углов.
вал.
ступень
ступень
Ск.
Углов.
Рдв, кВт
Ск.
ωдв, с-1
ωвых, с-1
1
4,00
314
3,27
Зубчатая
Цилиндр.
коническая
прямозубая
Z1=40;Z2=80 Z3=?;Z4=?
2
5,5
314
4,98
Цилиндр.
Цилиндр.
прямозубая
косозубая
25

кинематический и силовой

3
ступень

Соединение
привода с
двигателем

Цепная
Z5=18
Z6=108
Клинорем.
d5=63 мм

муфта
муфта

3

7,5

314

3,99

4

11,0

314

5,0

5

4,00

157

2,5

6

5,5

157

2,0

7

7,5

157

2,49

8

11,0

157

1,64

9

4,00

104,7

6,64

10

5,5

104,7

2,64

Z1=34;Z2=85
Клинорем.
d1=63 мм
d2=199мм
Зубчатая
коническая
Z1=40;Z2=80
Цилиндр.
косозубая
Z1=30;Z=60

Z3=?;Z4=?
Цилиндр.
косозубая
Z3=?;Z4=?
Цилиндр.
прямозубая
Z3=?;Z4=?
Цилиндр.
прямозубая
Z3=15;Z4=75

d6=252мм
Цепная
Z5=22
Z6=110
Цепная
Z5=20
Z6=63
Цепная
Z5=?
Z6=?

Цепная
Z5=20
Z6=80
Цилиндр.
прямозубая
Z1=30;Z2=75
Клинорем.
d1=? мм
d2=?мм
Зубчатая
коническая
Z1=30;Z2=75
Клинорем.
d1=63 мм
d2=198мм

Цилиндр.
косозубая
Z3=?;Z4=?
Цилиндр.
косозубая
Z3=10;Z4=63
Зубчатая
коническая
Z3=10;Z4=80
Цилиндр.
прямозубая
Z3=?;Z4=?
Зубчатая
коническая
Z3=30;Z4=60

Клинорем.
d5=50 мм
d6=311,5мм
Цепная
Z5=?
Z6=?
Цилиндр.
прямозубая
Z5=20;Z6=120
Цепная
Z5=29
Z6=58
Цилиндр.
прямозубая
Z5=?;Z6=?

муфта
муфта
муфта

муфта
муфта
муфта
муфта
муфта

ПРИМЕЧАНИЯ:
При выполнении задания: 1. Зубчатые передачи принять в закрытом
исполнении;
2. При расчете клиноременной передачи скольжением рамня пренебречь.
Последовательность выполнения работы:
1. Определить вид привода, назвать передачи в порядке расположения ступеней, составить
кинематическую схему.
2. Определить общее передаточное число;
Uпривода = ωдв/ωвых = u1 u2 u3
3. Определить общий КПД привода;
КПД привода = КПД1х КПД2х КПД3 (принять из табл.1)
4. Определить передаточные числа каждой ступени;
U1 = z2 / z1; U3 = z6 / z5;
U2 = Uпр / U1U3;
5. Определить угловые скорости на всех валах привода, с-1;
ωдв=ω1;
ω2 = ω1/u1;
ω3 = ω2/u2; ;
ω4 = ω3/u3;
6. Определить частоту вращения двигателя и выходного вала, об/мин;
nдв =30ωдв/π;
nвых. =30ωвых/π;
7. Определить мощность на всех валах, кВт;
p1=pдв ;
p2=p1 *КПД1; p3= p2 * КПД2; pвых=p3 * КПД3;
8. Определить вращающие моменты на всех валах привода, кНм;
М1=pдв /ωдв;
М2= М1* U1* КПД1; и т.д.
9. Выполнить проверку по формулам 1 и 2:
1. М вых =(pдв/ωдв)* КПДпр*Uпр , кНм; 2. Мвых = pвых / ωвых, кНм;
10. Результаты оформить в таблицу:
Передаточное число
Мощность на валу, Момент на валу, кНм КПД
Частота
U
кВт
привод Вращения,
об/мин.
26

1cт.

2ст. 3ст. привод Р1 Р2 Р3 Рвых. М1 М2 М3. Мвых

Дв.

Вых.

ВЫВОД.
Практическая работа № 6
Тема: Решение задач на тему срез и смятие
Цель работы: научиться решать практические задачи на тему срез и смятие.
Ход работы:
1. Изучить теория.
2. Решить задачи.
3. Оформить работу.
4. Написать вывод.
Краткая теория:
Напряжения при сдвиге
Сдвигом называют такой вид деформации, при которой в любом поперечном сечении бруса
возникает только поперечная сила.

Деформацию сдвига можно наблюдать, например, при резке ножницами
металлических полос или прутков, при пробивании отверстия в заготовках на штампе (рис. 1).
Рассмотрим брус площадью поперечного сечения А, перпендикулярно оси которого приложены две
равные и противоположно направленные силы F; линии действия этих сил параллельны и
находятся
на
относительно
небольшом
расстоянии
друг
от
друга.
Для
определения
поперечной
силы Q применим
метод
сечений (рис.
2).
Во всех точках поперечного сечения действуют распределенные силы, равнодействующую которых
определим из условия равновесия оставленной части бруса:
Σ Y = 0 » F – Q = 0,
откуда поперечная сила Q может быть определена, как:
Q = F.
Поперечная сила есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении бруса
при сдвиге.
Очевидно, что при сдвиге в поперечном сечении возникают
только касательные напряжения τ.

27

Предполагаем, что эти касательные напряжения равномерно распределены по сечению, и,
следовательно, могут быть вычислены по формуле:
τ = Q / А.
На основании полученной формулы можно сделать вывод, что форма сечения на величину
напряжения при деформации сдвига не влияет.
***
Расчеты на прочность при сдвиге
Условие прочности детали конструкции заключается в том, что наибольшее напряжение,
возникающее в ней (рабочее напряжение), не должно превышать допускаемое.
Расчетная формула при сдвиге:
τ = Q / А ≤ [τ]
читается следующим образом: касательное напряжение при сдвиге не должно превышать
допускаемое. (при обозначении предельно допустимых напряжений применяют квадратные
скобки:
[τ]
или
[σ]
)
По этой расчетной формуле проводят проектный и проверочный расчеты и определяют
допускаемую нагрузку.
Деформация сдвига, доведенная до разрушения материала, называется срезом (применительно к
металлам)
или скалыванием (применительно
к
неметаллам).
Допускаемое напряжение на срез выбирают для пластичных материалов в зависимости от предела
текучести.
В машиностроении для штифтов, болтов, шпонок и других деталей, работающих на срез
принимают [τср] = (0,25….0,35) σт, где σт – предел текучести материала изделия.
При расчетах на срез в случае, если соединение осуществляется несколькими одинаковыми
деталями (болтами, заклепками и т. д.), полагают, что все они нагружены одинаково. Расчеты
соединений на срез обычно сопровождают проверкой прочности этих соединений на смятие.
Деформация Гука при сдвиге
Для установления параметров, характеризующих деформацию при сдвиге, рассмотрим элемент
бруса в виде параллелепипеда abcd, на грани которого действуют только касательные напряжения τ,
а противоположную грань параллелепипеда представим жестко защемленной (рис. 3).

Деформация сдвига в указанном элементе заключается в перекашивании прямых углов
параллелепипеда за счет поступательного перемещения грани bc по отношению к сечению,
принятому
за
неподвижное.
Деформация
сдвига
характеризуется
углом γ (гамма) и
называется углом
сдвига,
или относительным сдвигом. Величина bb1, на которую смещается подвижная грань относительно
неподвижной,
называется абсолютным
сдвигом.
Относительный сдвиг γ выражается в радианах.
Напряжения и деформации при сдвиге связаны между собой зависимостью, которая
называется закон
Гука при
сдвиге.
Закон Гука при сдвиге справедлив лишь в определенных пределах нагрузок и формулируется
так: касательное напряжение прямо пропорционально относительному сдвигу.
Математически закон Гука для деформации сдвига можно записать в виде равенства:
28

τ = G γ.
Коэффициент пропорциональности G характеризует жесткость материала, т. е. способность
сопротивляться упругим деформациям при сдвиге, и называется модулем сдвига или модулем
упругости второго рода.
Модуль упругости выражается в паскалях; для различных материалов его величина определена
экспериментально
и
ее
можно
найти
в
специальных
справочниках.
При проведении ответственных расчетов на срез величина модуля упругости для каждого
соединения определяется опытным путем, непосредственно перед расчетом, либо берется из
справочника с применением увеличенного запаса прочности.
Следует
отметить,
что
между
тремя
упругими
постоянными
(модулями
упругости) E, G и ν существует следующая зависимость:
G = E / [2(1 + ν)].
Принимая для сталей ν ≈ 0,25, получаем: Gст ≈ 0,4 Ест .
Виды расчётов из условий прочности
1. Проверочный.
2. Проектный – определение числа соединительных деталей при заданных размерах или
определение размеров детали при заданном их числе.
3. Определение допускаемой нагрузки.
Смятие
1. При сжатии двух тел возникает опасность смятия контактирующих поверхностей.
2. Напряжение смятия – напряжение, возникающее при сжатии двух контактирующих
поверхностей.
3. Пример смятия: клёпаные и болтовые соединения.
4. Формула для расчёта напряжения смятия
σсм=F\Асм
5. Условие прочности на смятие
σсм=F\Асм [σсм]
F– сила, с которой сдавливаются контактирующие поверхности
Асм– площадь смятия
5. Если поверхность смятия криволинейная, то Асм=А проекции этой поверхности на плоскость,
перпендикулярную линии действия сминающей силы.
6. Расчёты на смятии носят условный характер: считают, что силы давления распределены по
поверхности смятия равномерно и перпендикулярны ей.
Задание:
Вариант 1:
1. Проверить прочность заклепочного соединения (рис.2.1 а), если [τср] =100Н/мм2, [σсм]=240
Н/мм2, [σр]=140Н/мм2.
2. По данным предыдущей задачи выяснить, будет ли достаточна прочность листов и накладок,
если изменить расположение заклепок: по линии I-I разместить четыре заклепки, а по линии III-IIIдве.
Вариант 2:
1. Проверить прочность заклепочного соединения (рис.2.4) если [σ]=140 Н/мм2, [τср] =100Н/мм2,
[σсм]=240 Н/мм2
2. По данным предыдущей задачи выяснить, допустимо ли уменьшение диаметра заклепок до 17
мм.
Вариант 3:
1. Проверить прочность заклепочного соединения (рис.2.2), если [σ]=160 Н/мм2, [τср]=140Н/мм2,
[σсм]=280Н/мм2.
2. Определить необходимое число заклепок для прикрепления угольников к фасонке (рис.2.5),
если диаметр заклепок d=17мм, материал заклепок сталь Ст2 [τср] =140Н/мм2, [σсм]=280Н/мм2.
Вычислить τср и σсм при принятом числе заклепок.
Вариант 4:
29

1. Определить число заклепок диаметром d=14мм (рис.2.6),
[σсм]=320Н/мм2. Вычислить τср и σсм при принятом числе заклепок.
2.

если

Проверить прочность заклепочного соединения (рис. 3.11) если

Н/мм2;

= 240 Н/мм2;

= 140 Н/мм2.

30

[τср]
кН;

=140Н/мм2 и
= 100

Практическая работа №7
Тема: Эпюры продольных сил, нормальных напряжений и абсолютных удлинений/укорочений
Цель работы: изучить тему, научиться строить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и
абсолютных удлинений/укорочений.
Ход работы:
1. Изучить теорию.
2. Построить эпюры.
3. Оформить работу.
4. Написать вывод.
Краткая теория:
Продольные силы в поперечных сечениях

31

Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных
сечениях стержня возникают только продольные силы N, а прочие силовые факторы (поперечные
силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю.
Это самый простой и часто встречающийся вид деформации. Обычно он наблюдается когда
внешняя нагрузка действует вдоль продольной оси стержня. Продольной осью стержня называется
линия, проходящая через центры тяжести поперечных сечений.
Обычным является растяжение стержня силами, приложенными к его концам. Передача усилий к
стержню может быть осуществлена различными способами, как это показано на рис.1.

Рис. 1
Во всех случаях, однако, система внешних сил образует равнодействующую F, направленную вдоль
оси стержня. Поэтому независимо от условий крепления растянутого стержня, расчетная схема в
рассматриваемых случаях (рис. 1, а, б) оказывается единой (рис. 1, в) согласно принципу Сен –
Венана.
Если воспользоваться методом сечений (рис. 2.), то становится очевидным, что во всех поперечных
сечениях стержня возникают нормальные силы Nz, равные силе F (рис. 2, б).
Сжатие отличается от растяжения, формально говоря, только знаком силы Nz. При растяжении
нормальная сила Nz направлена от сечения (рис. 2, б), а при сжатии – к сечению.

Рис. 2
Растягивающие продольные силы принято
сжимающие – отрицательными (рис. 3, б).

считать положительными (рис.

3, а),

а

Рис. 3
Продольные силы (Nz), возникающие в поперечных сечениях стержня, определяются по внешней
нагрузке с помощью метода сечений.
График, показывающий изменение продольных сил по длине оси стержня, называется эпюрой
продольных сил (эп. Nz). Он дает наглядное представление о законе изменения продольной силы.
Осью абсцисс служит ось стержня. Каждая ордината графика – продольная сила (в масштабе сил) в
данном сечении стержня.
Эпюра позволяет определить, в каком сечении действует максимальное внутреннее усилие
(например,
найти Nmax при
растяжении-сжатии).
Сечение,
где
действует
максимальное усилие будем называть опасным.
32

Необходимо установить границы участков, в пределах которых закон изменения внутренних сил
постоянный. Границами таких участков являются сечения, где приложены сосредоточенные силы
или начинается и кончается распределенная нагрузка, а также сечения, где имеется перелом
стержня.
Применяя метод сечений и учитывая правила знаков изложенные выше, получаем уравнения
изменения внутренних сил в пределах длины каждого участка бруса. Затем, используя, полученные
зависимости строим графики (эпюры) этих усилий. Ординаты эпюр в определенном масштабе
откладываем от базисной линии, которую проводим параллельно оси бруса.
Таким образом, на основании метода сечений продольная сила в произвольном поперечном сечении
стержня численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных к стержню по
одну сторону от рассматриваемого сечения, на его продольную ось.
Причем проекция внешней силы берется со знаком плюс, если сила растягивает часть стержня от
точки ее приложения до рассматриваемого сечения и, наоборот, со знаком минус – если сжимает.
Пример 1.
Пусть имеется стержень постоянного поперечного сечения, нагруженный силами 2Р и 3Р вдоль
продольной оси стержня, показанный на рис.5. Определить величину внутренних сил.

Рис.5.
Решение.
Стержень может быть разделен на два участка, граничными точками которых являются точки
приложения сосредоточенных сил и точка закрепления. Если начало координат расположить на
правом конце стержня, а ось z направить справа налево, то, используя метод
сечений, рассекая последовательно
участки, отбрасывая левую
часть, заменяя ее
действие
внутренними усилиями N, Qy, Mx и уравновешивая оставшуюся часть, получим:
I участок:

Как видно, при растяжении в поперечных сечениях стержня возникает только один внутренний
силовой фактор - нормальная сила N.
II участок:
Таким образом, нормальная сила равна алгебраической сумме проекций сил, приложенных к
отсеченной части на продольную ось
Полученные результаты для большей наглядности удобно представить в виде графика, (эпюры N),
показывающего изменение продольной силы вдоль оси стержня (рис.2.4.1). Построим на первом
участке линию параллельную оси z на высоте 2Р, на втором участке – линию со значением -Р.
Области ограниченные графиком и осью z принято штриховать и обозначать знак этой области.

33

Видно, что наибольшая продольная сила возникает на первом участке стержня и, как следствие, при
прочих равных условиях, он скорее может разрушиться, чем второй участок.
Напряжение в поперечных сечениях стержня
Нормальная сила N приложена в центре тяжести сечения, является равнодействующей внутренних
сил в сечении и, в соответствии с этим, определяется следующим образом:

Но из этой формулы нельзя найти закон распределения нормальных напряжений в поперечных
сечениях стержня. Для этого обратимся к анализу характера его деформирования.
Если на боковую поверхность этого стержня нанести прямоугольную сетку (рис. 2.2, б), то после
нагружения поперечные линии а-а, b-b и т.д. переместятся параллельно самим себе, откуда следует,
что все поверхностные продольные волокна удлинятся одинаково. Если предположить также, что и
внутренние волокна работают таким же образом, то можно сделать вывод о том, что поперечные
сечения в центрально растянутом стержне смещаются параллельно начальным положениям, что
соответствует гипотезе плоских сечений (гипотезе Бернулли).
Значит, все продольные волокна стержня находятся в одинаковых условиях, а следовательно,
нормальные напряжения во всех точках поперечного сечения должны быть также одинаковы и равны
где A - площадь поперечного сечения стержня.
В сечениях, близких к месту приложения внешних сил, гипотеза Бернулли нарушается: сечения
искривляются, и напряжения в них распределяются неравномерно. По мере удаления от сечений, в
которых приложены силы, напряжения выравниваются, и в сечениях, удаленных от места
приложения сил на расстояние, равное наибольшему из размеров поперечного сечения, напряжения
можно считать распределенными по сечению равномерно. Это положение, называемое принципом
Сен-Венана, позволяет при определении напряжений в сечениях, достаточно удаленных от мест
приложения внешних сил, не учитывать способ их приложения, заменять систему внешних сил
статически эквивалентной системой. Например, экспериментально установлено, что во всех трех
случаях нагружения стержня (рис. 5, а) значения напряжений в сечениях, удаленных от крайних
сечений на расстояние не менее высоты сечения h, одинаковы:
(рис. 5, б), а в сечениях,
близких к местам приложения внешних сил, распределения напряжений по сечению существенно
различны (рис. 5, в).

Рис.5
Высказанное предположение о равномерном распределении нормальных напряжений в поперечном
сечении справедливо для участков, достаточно удаленных от мест: резкого изменения площади
поперечного сечения (рис. 5, в); скачкообразного изменения внешних нагрузок; скачкообразного
изменения физико-механических характеристик конструкций.
Нормальные напряжения при сжатии определяют также, как и при растяжении, но считают
отрицательными.
Деформации и перемещения. Закон Гука
Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко заделанным, и другим - свободным, к
которому приложена центральная продольная сила Р (рис. 6). До нагружения стержня его длина
34

равнялась l - после нагружения она стала равной
(рис. 6). Величину называют абсолютной
продольной деформацией (абсолютным удлинением) стержня. В большинстве случаев оно мало по
сравнению с его первоначальной длиной l (∆l<